¿Qué es el pensamiento matemático?

Pocos libros son tan sinceros, y tan accesibles y hacen un favor tan grande a las matemáticas como este de Ian Stewart The foundations of Mathematics. Como muestra de ello estas ideas principales extraidas de su primer capítulo:

Cómo detectar los errores: por dos medios

1. Paso a paso, comprobando la cadena lógica que lleva a cada uno de ellos.
2. Una vista general. Los árboles no dejan ver el bosque. Pero una definición más operativa: coge toda una serie de piezas individuales e intenta conseguir un puzzle coherente con todas ellas, entre ellas y lo que les rodea.

La formación de los conceptos: no a través de una primera definición cuyos múltiples matices se basan en un extenso proceso de generalización, si no a través de ejemplos. Todos los matemáticos han sido niños alguna vez.

¿Qué es un concepto matemático? Es un patrón organizado de ideas, de alguna forma interrelacionadas que se basan en la experiencia y en conceptos ya establecidos. O sea, un esquema.

¿Qué entendemos entonces por aprender? Básicamente, haciendo que el esquema existente acomode las nuevas ideas. ¿Cómo? extendiendo el esquema.  Un ejemplo delicioso. Se pregunta: ¿dónde viven los números reales? Un sitio es dibujar una recta en un papel, marcar el cero. A la izquierda viven los negativos, a la derecha los positivos. ¿Y  los complejos? Uhm.. no son ni positivos ni negativos… dibujemos otra línea, que pase por el cero, y hagámoslos vivir allí…